L'étude structurale de l’ancienne charpente de Notre-Dame de Paris

L'association Restaurons Notre-Dame (rND) publie pour la première fois l'étude structurale de l'ancienne charpente bois de la cathédrale Notre-Dame de Paris. Elle a été réalisée par Paolo Vannucci*, Professeur des Universités, ingénieur en génie civil, (Université de Versailles et de St. Quentin en Yvelines - UVSQ), membre de Restaurons Notre-Dame et de sa commission scientifique, technique et universitaire.


Cette étude exceptionnelle est une analyse scientifique et structurale en profondeur de l'ancienne charpente, et va beaucoup plus loin que toutes celles disponibles à ce jour qui concernent essentiellement les matériaux (LRMH, CNRS). Paolo Vannucci conclut que les solutions constructives utilisées par les concepteurs gothiques du XIIIème siècle, intuitives et très efficaces, laissent entrevoir une connaissance parfaite du jeu de l’équilibre structural, même si, sous certains aspects, il demeure empirique ...


Des points de réflexion pour la future charpente et toiture de Notre-Dame

La structure des combles de la cathédrale Notre-Dame, détruite par l’incendie du 15 avril 2019, était un des plus importants exemples encore existants de charpente médiévale. De dimensions exceptionnelles (environ 115 m de longueur, 13 de largeur et 9.75 de hauteur), deux charpentes originales du XIIIème siècle subsistaient : celle du choeur, construite probablement entre 1225 et 1230, et celle de la nef, légèrement postérieure. Ces deux structures avaient des points en commun mais montraient aussi des différences qui révélaient une diverse reflexion conceptuelle de la part des constructeurs. Une analyse structurale de ces deux charpentes permet de faire émerger certains aspects inconnus jusqu’ici et aide, d’une part, à éclairer la pensée constructive des charpentiers du XIIIe siècle, et, d’autre part, suggère des points de reflexion pour la réalisation de la future toiture de Notre-Dame.


Les deux charpentes, du choeur et de la nef, avaient été mises en place après les modifications apportées à la partie haute de la cathédrale, notamment la surélévation des murs gouttereaux (d’environ 2.70 m dans le choeur). Cette modification joue un role déterminant dans la conception des deux charpentes construites à partir de 1225 : elle permet la réalisation de charpentes à "chevrons formant fermes". Une analyse scientifique, structurale, de ce type de solution laisse entrevoir une connaissance du jeu de l’équilibre structural, même si certainement empirique, si profonde qu’elle a permis aux concepteurs gothiques de concevoir des solutions non intuitives et très efficaces.


Différents points ressortent de l’étude, conduite avec les méthodes propres à la mécanique des structures hyperstatiques

Les deux charpentes, et plus en général toutes les charpentes à chevrons formant fermes, ont un fonctionnement tridimensionnel : le rôle majeure est joué par le chevron maître, doté d’entrait, sur lequel se reportent à la fois les poussées horizontales des chevrons secondaires, grâce au système de sablières et blochets, et une grande partie des poids de la structure, grâce au système de liaisions longitudinales;


Chaque charpente est donc constituée par la répétition d’une unité structurale, dans les deux charpentes de Notre-Dame composée d’une ferme principale et de quatre fermes secondaires, chacune assurant un fonctionnement structurale tridimensionnel, par report de charge verticale et horizontale sur la ferme principale;


Ce système structural est auto-équilibré dans le sens transversal à l’axe de la cathédrale : l’entrait de la ferme principale équilibre les poussées horizontales aux deux côtés de chaque unité structurale de charpente. Les charpentiers du XIIIème siècle avaient compris les danger d’une structure qui pousse en tête aux murs gouttereaux, pour deux raisons que l’analyse structurale révèle clairement : d’une part, le frottement n’aurait pas été suffisant à absorber les poussées des fermes secondaires, dépourvues d’entrait mais, surtout, avec des murs gouttereaux surélevés, une poussée horizontale en haut des murs gouttereaux aurait produit la rupture du mur par rotation au niveau de la partie haute des arcs formerets, à savoir au niveau du mur avant les modifications initiées en 1220;


On ne peut pas écarter, à priori, l’hypothèse que les modifications apportées à la partie haute, notamment la surélévation des murs gouttereaux et l’adoption d’une charpente à chevrons formant fermes, aient été adoptées pour pallier à des problèmes observés sur la charpente d’origine, mise en place autour de 1170-80, très probablement trop déformable par l’absence d’entraits;


Contrairement à ce qu’on a souvent cru, la distribution des actions verticales reste fortement ponctuelle : l’adoption des fermes secondaires rapprochées ne permet pas d’obtenir une répartition pratiquement uniforme de la charge verticale sur les murs gouttereaux. En fait, les liaisons longitudinales, dont le rôle ne se cantonne évidemment pas à celui d’un simple contreventement, assurent un fort report de la charge verticale sur les fermes principale, ce qui contribue fortement à soulager la flexion des sablières et, en fin de compte, à garantir l’équilibre global de l’unité structurale de charpente;


Sensibles au fait qu’une structure simplement appuyée au sommet du clair-étage aurait été vulnérable à l’action du vent (il faut se rappeler que dans toute l’histoire de l’architecture gothique, c’est à Notre-Dame qu’on a réalisé le plus fort incrément en hauteur par rapport aux réalisations précédentes), les charpentiers avaient conçu un système très efficace de transmission de la poussée du vent aux arcs-boutants : des consoles en bois composées d’une jambe de force, un aisselier (2 dans certaines fermes du choeur) un chapeau et une clé à cisaillement. Ce système reportait la charge sur des pierres consoles, posées bas, dans le choeur au niveau de l’ancien mur gouttereaux. Avec ce dispositif, dont l’importance est très faible pour ce qui concerne les forces verticales, la poussée horizontale était transmise, inclinée, à la structure en pierre du clair-étage bien plus bas du sommet des murs gouttereaux, ce qui assure l’équilibre d’ensemble, impossible pour une poussée horizontale appliquée tout en haut des murs. Aussi, durant la phase de réalisation des voutes, ce dispositif de transmission de la poussée horizontale assurait, avec l’entrait, l’équilibre des poussées à vide des arcs-boutant des deux côtés de la nef, ce qui aurait été très problématique pour un système de fermes simplement appuyé en haut des murs;


Un changement de schéma statique est évident entre les charpentes du choeur et de la nef. Ce dernier, réalisé postérieurement, est meilleur d’un point de vue structural, comme une analyse modale comparative le révèle : l’unité structurale de la charpente de la nef a une fréquence fondamentale de vibration nettement plus élevée de celle du choeur, pour une masse qui est pratiquement la même, signe d’une plus grande rigidité et donc stabilité. Ce résultat a été obtenu par le concepteur de la charpente de la nef grâce à une meilleure organisation structurale de la ferme principale et des liaisons longitudinales, tandis que les fermes secondaires sont du même type dans les deux cas. Au final, ceci s’obtient au prix d’une plus grande quantité de bois par unité de longueur de charpente. Il faut aussi souligner que l’analyse mécanique révèle que le niveau des contraintes dans les différentes parties de la charpente était très bas et pratiquement le même dans le choeur et la nef (ce qui explique au moins en partie la grande longévité de la charpente disparue et le fait qu’elle aurait sans doute pu durer encore très longtemps). Ainsi, le charpentier de la nef a oeuvré essentiellement pour augmenter, et fortement, la rigidité de la structure, même au prix d’une augmentation de la masse de bois, mais pas nécessairement sa résistance.

Figure 1 : Charpentes du choeur, gauche, et de la nef, droite; a) ferme principale, b) ferme secondaire, c) unité structurale.


Figure 2 : Déformées (amplifiées) de la charpente sous l’action du poids propre; gauche, charpente du choeur; droite, de la nef.


Ses modifications n’étaient donc pas dictées par des raisons économiques, mais sans doute structurales et étaient probablement suggérées par une expérience forte, vraisemblablement acquise surtout lors d’opérations de montage de charpentes, quand la structure plus facilement indique par ses mouvements les souplesses et les faiblesses dangereuses et la manière de les éviter.


Cette analyse structurale, quantitative, a surtout révélé la grande qualité conceptuelle de cette structure perdue à jamais et par conséquent le niveau technique des charpentiers qui l’ont conçue et réalisée, leur capacité de se poser les bonnes questions techniques et d’en donner des réponses tout à fait valables. La structure qui avaient réalisée possédait la beauté de la simplicité et avait été capable de traverser les siècles. Nous ne savons pas encore quelle sera la solution préconisée pour la future charpente, mais il faut au moins se souhaiter qu’elle soit aussi bien conçue et durable, dans tous les sens de ce terme, comme elle l’était l’ancienne.


Paolo Vannucci, le 20 mai 2020


Téléchargez l'étude structurale complète de l'ancienne charpente de la cathédrale NotreDame de Paris : Structural study of the Notre-Dame ancient charpente

Paolo Vannucci

1 Generalities

Paolo VANNUCCI Born in Lucca, Italy, in 1962; married, two children. Languages: Italian, French, English. Contact: paolo.vannucci@uvsq.fr

2 Academic degrees

2002: HDR in Mechanics, University of Burgundy. 1996: PhD in Structural Engineering, University of Florence. 1991: Laurea in Civil Engineering (Hydraulics), University of Pisa.

3 Career

2003 - : Full Professor (Professeur des Universit ́es - Classe exceptionnelle) of Mechanics at the University of Versailles and St. Quentin en Yvelines (UVSQ). 2013 -: member of LMV - Laboratoire de Math ́ematiques de Versailles (UMR 8100 UVSQ - CNRS). 2008-2011: member of Institut d’Alembert, University Pierre et Marie Curie, Paris (UMR UPMC - CNRS 7190). 1998-2003: Senior Lecturer (Maˆıtre de conf ́erences) at ISAT - University of Burgundy, Nevers. 1997: Post-doc researcher at Department of Structural Engineering, University of Pisa. 1996: Post-doc researcher at ISAT - University of Burgundy, Nevers. 1995-1996: Post-doc researcher at LPMM, University of Metz. 1992-1995: structural engineer, Pisa (part-time job). 1991-1992: off-shore engineer at AGIP, Milan.

4 Main teaching activities

University of Pise: Rational Mechanics, Strength of Materials, Structural Composite Materials. University of Burgundy - ISAT: General Mechanics, Composite Materials, Reliabil- ity of Structures, Numerical Analysis, Solid Mechanics. UVSQ: Analytical Mechanics, Continuum Mechanics, Aerodynamics, Fluid Mechanics, Solid Mechanics, Composite Materials, Offshore Engineering, Civil Engineering Struc- tures, Structural Optimization, Stability and Bifurcation, History of Mechanics, Histor- ical Evolution of Construction Techniques. University Paris 6: Plasticity and Limit Analysis. Ecole Polytechnique: Anisotropic Elasticity. Complete liste of lecture notes here UVSQ: director of the master DSME (Dimensionnement des Structures M ́ecaniques dans leur Environnement) in the period 2005-09 and since 2012. UPSay (Universit ́e Paris-Saclay), since 2013: vice-director of the Master M ́ecanique, director of the curriculum MMM (M ́ethodes Math ́ematiques pour la M ́ecanique), co- director, for UVSQ, of the curriculum M4S (Mod ́elisation Multiphysique et Multi ́echelle des Mat ́eriaux et des Structures).

5 Main research activities

Fluid mechanics: wave actions in non-linear diffraction theory. Optimization: TLP size optimization; optimal design of anisotropic laminates; two- step approach to stiffness and strength design; optimization of modular systems; sys- tems with multi-physics couplings (piezoelectricity, thermo-elastic couplings etc.); op- timal passive control of vibrations; identification of physical properties (elasticity and piezoelectricity); numerical methods in optimization: genetic algorithms, PSO, ADP method for equality and inequality constraints. Simultaneous optimization of shape and anisotropic properties (RENAULT SA contract). Optimization of no-tension material structures. Theoretical mechanics: analysis of plane anisotropy by tensor invariants: classical elasticity, complex bodies, piezoelectricity, rari-constant materials, damage; elastic be- havior of laminates; couplings in laminates; thermally stable laminates. Architecture: response of historical monuments to a blast (CNRS project ”Cath ́edrales Durables”, CIFRE INGEROP) and to wind (project AVACAT). Non-linear mechanics: the Asymptotic Numerical Method for buckling and post- buckling analysis.

6 Publications

1 book, 2 chapters of books, 57 papers in reviews, 39 articles in congress proceedings, 15 communications in international conferences. Indexes: h = 23, i10 = 38. Complete liste of publications here 7 Seminaries and conferences 37 seminaries and conferences in different Universities and international workshops. Complete liste of seminaries and conferences here

8 Scientific tutoring

Advisor or co-advisor of 7 PhD theses (University of Burgundy, UVSQ, University Paris 6, Ecole des Ponts et Chauss ́ees), co-advisor of two master degree theses (University of Rome 1, University of Pisa). Rapporteur of 17 PhD theses and of 2 theses ofHabilitation `a Diriger les Recherches. Jury member of 28 PhD theses and of 4 HDR theses.

9 Editorial activity

Reviewer for Mathematical Reviews, American Mathematical Society. Member of the Editorial Board of Journal of Optimization Theory and Applications, Aeotecnica Missili & Spazio, Indian Journal of Engineering & Materials Sciences, The Scientific World Journal, International Journal of Composite Materials. Referee for several international reviews of mechanics and optimization (J Appl Mech, Comput & Struct, J Glob Optim, Meccanica, J Composites A and B, J Mech Mat & Struct, Int J Sol & Struct, Revue Europ M ́ec Num, M ́ec et Industries, Europ J Mech A, J Aerosp Eng, J Num Meth in Eng, Physica D, J Optim Theory and Appl, Inverse Prob in Sc & Eng, Comput Meth in Appl Mech and Eng, Mech of Adv Mat & Struct, Optim & Eng, Composite Struct, J Composite Mat, Math Meth in Appl Sc, Arch of Mech, Int J Compos Mat, Struct Eng & Mech, Space Struct, Struct & Multidisc Optim, Mech Res Comm, The Scient World J, Appl Math & Comput, Mech of Mat, Indian J of Eng & Materials Sc, Steel and Comp Struct, Struct Eng & Mech, J Eng Math, Phil Trans Royal Soc A, Math Prob in Eng, Int J of Energy Eng, Int J Materials Eng, J of Elasticity, Aerospace Sc & Techn, Continuum Mech & Thermodyn).

10 Other

2002-06: Recipient of the PEDR (Prime d’Encadrement Doctoral et de Recherche), French Ministry of Research.

2006-10: Again, recipient of the PEDR. 2009: International Expert appointed by the Canadian Government for the selection of excellence professors in Civil Engineering. 2011-15: member of the Scientific Committee of the Faculty of Sciences of UVSQ. 2012-: member of the bureau of the Department of Physical Sciences of UVSQ. 2013-: member of the council of the Faculty of Sciences of UVSQ. 2014-15: 6 sabbatical months granted by CNU (National Council of Universities) for research activities. 2015: 6 months of d ́el ́egation CNRS for thematic reconversion. 2016: chief of the research project Cath ́edrales Durables, CNRS. 2019: Universit ́e Franco-Italienne Visiting Professor at DICEA, University of Florence (3 months).




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